向柯西致敬

花費了一番功夫

加上台大顏博士的指導

我終於領悟了「極限定義」

極限的概念我從以前就知道了

但是極限的定義跟概念可是全然不同

首先說明一下何謂極限

極限的概念主要應用在兩個方面

一個是函數，另一個則是數列


函數的極限就是當x無窮逼近a時

f(x)也會隨之無窮逼近L

在計算時通常只要f(x)代入x = a值就能得到極限值

但在不定型時，例如0/0、無窮大/無窮大

要改用其他角度去計算才能得到真正的極限值

這裡不多談


數列的極限則是當n趨近於無窮大

數列Sn則會收斂於L

在計算數列的極限時

我們最常使用無窮級數的和

這部分屬於高中數學，所以也跳過


接下來是重頭戲，也是讓我頭痛好幾天的函數的極限定義

定義主要分四個部份，這四個部份有各自的邏輯

第一:對所有大於0的實變數E

第二:必定存在一個大於0的實數delta

第三:使得f(x)跟L差距的絕對值小於E

第四:其中x跟a的差距的絕對值大於0小於delta

我們可以以得到 limit x->a f(x)=L

用比較簡單的話解釋就是

第一:因為所有E>0，所以"給定"一個大於0的實數e。

第二:這時我們可以找到隨著e變動的delta,delta大於0

(註:delta與e有連動性，也就是兩者有函數關係，但定義使用符號沒有使用數字所以看不出來，於是定義用delta表示)

第三:我們要先確定f(x)跟L距離無窮縮小

使得f(x)的"終點"是L

也就是說

必須滿足f(x)跟L的距離小於任意實數e

因為無窮小的數不存在

所以我們所給定的e只是一個極小的數

於是f(x)跟L距離非常非常小

而且隨著給定的e逐漸變小

f(x)逐漸向L靠近


第四:讓x跟a的距離小於delta

因為delta隨著e變動

所以當e朝0靠近時

delta也是極小的數

於是x無窮逼近a


以下舉例給個函數的極限的証明

看看證明跟定義有何關係

Example:

limit x->1 f(x)=2,if f(x)=2x


Proof:

取任意一個大於0的數e，存在e/2>0

使得│x-1│ < e/2

=>│f(x)-2│=│2x-2│=2│x-1│ < 2*e/2=e


結論:

我們可以發現

定義是先給定f(x)跟L的距離再去看x跟a的距離

但是函數的極限的"概念"卻是剛好相反

要先看x跟a的距離

再得到f(x)的極限值為L

而證明則是透過e與delta的關係

先確定x跟1的距離小於e/2

再推論出f(x)跟2的距離小於e

因而合乎定義